Matemáticas

El reloj con las manecillas de longitudes iguales y los momentos en los que es imposible saber qué hora es

Si las manecillas del minutero y el horario de un reloj analógico son iguales, ¿es posible determinar siempre cuál es la hora exacta?

Aunque pueda parecerlo, la respuesta no es trivial. Es una curiosa cuestión que investiga un vídeo del canal de Zach Star, en el que se sigue el razonamiento completo del problema hasta llegar a la solución. Y es muy entretenido.

Para hacerlo hay que pensar en un reloj analógico con dos manecillas (minutero y horario) que son indistinguibles, en el que no hay segundero y en el que –por simplificar– nos da igual si está marcando la hora am/pm. Se supone que podemos medir la posición exacta de ambas manecillas con absoluta precisión, pero no distinguir cuál es cual.

Imaginemos que el reloj marca las 3:00. La manecilla de las horas (corta) estaría en las 3 y la de los minutos (larga) en las 12. Pero podemos razonar que en ese caso esa es la única posibilidad: si fuera al revés y en vez de las 3:00 fueran las 12:15, la de los minutos estaría en el 3 pero la de las horas no podría estar exactamente en las 12, sino un poco más adelantada, a la cuarta parte del camino entre las 12 y la 1. Por tanto el aspecto de las manecillas a las 3:00, apuntando exactamente una a las 12 y otra a las 3, es «único» se mire como se mire y sólo pueden ser las 3:00 y no las 12:15.

Estudiando el problema se ve también que hay otros momentos donde no es tan fácil esa distinción: con las manecillas en las 3:40 también podría suceder que fueran las 8:16… más o menos. De ahí el problema.

La solución pasa por tratar las horas como si fueran coordenadas X-Y y dibujar una gráfica de todas las horas entre las 0:00 y las 11:59. Al hacerlo se ve que la forma de «invertir las manecillas» es utilizar una simetría que intercambia los valores X e Y. Al hacerlo hay algunos puntos donde todas las horas marcadas se cruzan: a las 10:04 y 12:50 (más o menos, con algunos segundos) igual que a las 2:36 y 7:13 y otras.

¿Cuántas configuraciones o momentos de este tipo hay? En total los valores son iguales 12 × 12 = 144 veces (una de ellas repetida, en realidad 143). Pero como hay momentos como las 12 en punto o las 6:34 en que las que las manecillas se superponen –11 veces a lo largo de una vuelta completa– en realidad esto sucede sólo 143-11 = 132 veces. En el vídeo dan este valor correcto como correcto, pero considerando que hay 12 posiciones con las manecillas superpuestas y 144 cruces de valores; el resultado es el mismo. Depende un poco de cómo se calcule y si se tienen en cuenta todos los valores entre 0:00 y 11:59 o entre 0:00 y 12:00 (que se podría ignorar por ser la misma que 0:00).

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